Blog uge 43: Algebraens stofdidaktik

 

Sammenhængen mellem positionssystemer og talsystemer

Gennem eget arbejde med talsystemer fik vi et indblik i positionssystem fra bønnernes syn. Det er meget relevant i forhold til læreruddannelse, fordi vi kan se hvordan eleverne ser ny systemer og hvordan et lærekurven fungere.  

Det viser os at vi tager det som selvfølgeligt at efter 4 kommer der 5, og at efter 37 kommer der 38, fordi vi har lært det gang på gang og har øvet det mange ganger, men for børn det er ikke sådan. Hvis vi for eksempel skulle lære nu et talsystem som bestod af kun latinske bogstaver eller kun af 1 og 0, det vil tage os længere til at lære til at sammensætte tal. Men med øvelse kan vi blive hurtigere til det. Det viser os at det tager tid til at lære alle nye systemer og fordele af det system vi bruger nu.

Det eksempel kan bruges i undervisning for lærer at se positions systemer fra børnenes højde. Det kan også bruges for at lave sjove spil i matematik time: for eksempel at erstatte vores positions system med andre tal eller bogstaver (fx et binære system 1og 0, som også bruges i programmering og kunne hjælpe børn med interesse i computer Engineering) og lad børnene regne sig frem til tal man som lærer skriver på tavlen i det nye system.

I artiklen " Multiplication by 10 base-5: Making Sense of Place Value Structure Through an Alternate”, fortælles der hvordan det ikke er ligetil at forklare børn hvordan det let giver mening  at gange noget med 10, fordi man sætter bare et nul bag på. En ting er at læreren kan gøre det og vise det til eleverne, men de kan ikke argumentere og begrunde hvorfor det er sandt. Denne Times Base -reglen, stiller et helt grundlæggende spørgsmål til talpositioner. Når dette skal begrundes, er PTS kommet med to matematiske årsager. Den første er at reglen understøtter udviklingen af konceptuel forståelse af den multiplikator struktur af positionssystem. Den anden grund er at reglen er en grundlæggende faktor for forståelsen af flere cifret multiplikationsstrategier

Som nævnt tidligere så taler artiklen om base ti talsystem som skal forstås som den “regel” om at når man ganger med 10 tallet uanset base sættes der et nul bagpå, og alle pladserne rykker en værdi.  Base ti talsystemet beskrives i artiklen, den måde en værdi som er et tal udtrykkes ud fra et grundtal. Dette grundtal beskriver hvor mange forskellige værdier et tal sammensættes af. I artiklen nævnes, at lærerstuderende i 1-6 klasse, har til formål at lære eleverne i skolen, at tal er opbygget af cifre fra 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Dvs. der er forskellige værdier som et tal kan sammensættes af her. Lærerstuderende som underviser fra 1-6 klasse, bruger denne regel ved at undersøge multiplikation.

Betydning af en base ti talsystem af multiplikation med 10 kan hjælpe lærerstuderende med at forstå, hvordan man multiplicere. Denne måde kan være med til at hjælpe det underliggende multiplikativ struktur af stedværdi, der muliggør effektiviteten af standardgoritmen.

For eksempel ved multiplikation med 10 tallet, som nævnes i artiklen, er at gange med 10 base i enhver base betyder, at vi laver base kopi af dette nummer. Her vil basis ti betyde 10 eksemplarer, og hvis det var basis fem, betyde 5 eksemplarer. Der findes et eksempel man regner det ud på, men ellers findes der forskellige måder at gange det på ved brugen af base ti talsystem reglen. For eksempel 3 * 86 = 3* 8 = 18 , 3 * 80 = 240, 240 + 18 = 258

Dvs. 3 * 6 giver 18 og 3 * 80 = 240. Ved dette eksempel, er der brugt ”base ti talsystem reglen”, dvs. denne regel går ud på ved multiplikation af et tal med 10, dvs. alle cifre i det tal, skal flyttes til venstre og et nul, der skal tilføjes i slutningen af nummeret, derfor bliver det ikke til 24 men til 240, fordi, tallet er ”80” så tilføjes der et 0 i slutningen af nummeret, derfor bliver det til 240. og samlet set, når man ligger alle tallene sammen 240 + 18 giver det 258.

En yderligere pointe som der tales om og er gavnlig information for en lærer: Conceptual knowledge. Ifølge Hiebert and Lefevre’s (1986), handler det om hvordan at kunne se relationer/forbindelser i tal er så vigtigt som informationen selv. En ting er at kunne forstå og bruge 10-tals systemet. Men hvad der udgør den konceptuelle viden, er også signifikant. Den kræver en forståelse af forbindelser mellem forskellige enheder. For eksempel, så for at kunne forstå hvad 300 er, kræves en basal forståelse af hvad en’er er, hvad 10’er er og hvad 100’er er.

At lære talsystem og positions system kræve ikke kun forståelse fra elever, men også fra læren. Det hjælper en lærer med at kunne sætte sig ind i det og forestå sammenhæng og hvordan der er bedst muligt at formidle det til sine elever.